Mengapa nombor kompleks digunakan untuk pengiraan dalam litar AC

Seperti yang anda ketahui, nombor kompleks digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah biasa dalam kejuruteraan elektrik. Tetapi untuk apa ia digunakan dan mengapa ia dilakukan dengan cara ini? Inilah yang akan kami cuba fahami dalam perjalanan artikel ini. Hakikatnya ialah kaedah kompleks atau kaedah amplitud kompleks adalah mudah untuk mengira litar AC kompleks. Dan sebagai permulaan, mari kita ingat beberapa asas matematik:

Seperti yang anda lihat, nombor kompleks z termasuk bahagian khayalan dan bahagian nyata, yang berbeza antara satu sama lain dan dilambangkan secara berbeza dalam teks. Nombor kompleks z itu sendiri boleh ditulis dalam bentuk algebra, trigonometri atau eksponen:

Latar belakang sejarah

Adalah dipercayai bahawa idea nombor khayalan bermula pada tahun 1545, apabila ahli matematik, jurutera, ahli falsafah, doktor dan ahli nujum Itali Girolamo Cardano menerbitkan kaedah penyelesaian persamaan ini dalam risalahnya "The Great Art", di mana, menurut antara lain. , dia mengakui bahawa Niccolò telah memberinya idea kepada Tartaglia (seorang ahli matematik Itali) 6 tahun sebelum penerbitan karya ini. Dalam karyanya, Kradano menyelesaikan persamaan bentuk:

Dalam proses menyelesaikan persamaan ini, saintis terpaksa mengakui kewujudan beberapa nombor «tidak nyata», kuasa duanya akan sama dengan tolak satu «-1», iaitu, seolah-olah terdapat punca kuasa dua nombor negatif, dan jika ia kini kuasa dua, akan bertukar menjadi nombor negatif yang sepadan di bawah punca. Cardano menyatakan peraturan pendaraban, mengikutnya:

Selama tiga abad, komuniti matematik sedang dalam proses membiasakan diri dengan pendekatan baharu yang dicadangkan oleh Cardano. Nombor khayalan beransur-ansur berakar, tetapi ahli matematik enggan menerimanya. Sehinggalah penerbitan karya Gauss tentang algebra, di mana dia membuktikan teorem asas algebra, nombor kompleks akhirnya diterima sepenuhnya, abad ke-19 sudah hampir.

Nombor khayalan menjadi penyelamat sebenar bagi ahli matematik kerana masalah yang paling kompleks menjadi lebih mudah untuk diselesaikan dengan menerima kewujudan nombor khayalan.

Jadi ia tidak lama lagi datang ke kejuruteraan elektrik. Litar AC kadangkala sangat kompleks dan banyak kamiran perlu dikira untuk mengiranya, yang selalunya sangat menyusahkan.

Akhirnya, pada tahun 1893, jurutera elektrik yang cemerlang Carl August Steinmetz bercakap di Chicago di Kongres Elektroteknikal Antarabangsa dengan laporan "Nombor kompleks dan aplikasinya dalam kejuruteraan elektrik", yang sebenarnya menandakan permulaan aplikasi praktikal oleh jurutera kaedah kompleks mengira litar elektrik untuk arus AC.

Kami tahu ini dari kursus fizik arus ulang alik — ini ialah arus yang berubah mengikut masa dalam kedua-dua magnitud dan arah.

Dalam teknologi, terdapat pelbagai bentuk arus ulang-alik, tetapi yang paling biasa hari ini ialah arus bolak-balik sinusoidal, inilah yang digunakan di mana-mana, dengan bantuan elektrik yang dihantar, dalam bentuk arus ulang-alik, yang dihasilkan, ditukar oleh transformer dan digunakan oleh beban. Arus sinusoidal berubah secara berkala mengikut hukum sinusoidal (harmonik).

Nilai berkesan arus dan voltan adalah kurang daripada nilai amplitud punca dua kali:

Dalam kaedah yang kompleks, nilai berkesan arus dan voltan ditulis seperti berikut:

Ambil perhatian bahawa dalam kejuruteraan elektrik, unit khayalan dilambangkan dengan huruf «j», kerana huruf «i» telah digunakan di sini untuk menandakan arus.

daripada Hukum Ohm menentukan nilai kompleks rintangan:

Penambahan dan penolakan nilai kompleks dilakukan dalam bentuk algebra, dan pendaraban dan pembahagian dalam bentuk eksponen.

Mari kita pertimbangkan kaedah amplitud kompleks menggunakan contoh litar tertentu dengan nilai tertentu dari parameter utama.

Contoh penyelesaian masalah menggunakan nombor kompleks

Diberi:

• voltan gegelung 50 V,

• rintangan perintang 25 Ohm,

• kearuhan gegelung 500 mH,

• kapasiti elektrik kapasitor ialah 30 mikrofarad,

• rintangan gegelung 10 Ohm,

• frekuensi sesalur 50 Hz.

Cari: bacaan ammeter dan voltmeter serta wattmeter.

Jawapan:

Sebagai permulaan, kita tuliskan rintangan kompleks unsur-unsur yang berkaitan dengan siri, yang terdiri daripada bahagian nyata dan khayalan, kemudian kita dapati rintangan kompleks unsur induktif aktif.

Mengingati! Untuk mendapatkan bentuk eksponen, cari modulus z sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua bahagian nyata dan khayalan, dan phi sama dengan arctangent bagi hasil bagi bahagian khayalan dibahagikan dengan bahagian nyata.

Kemudian kita dapati arus dan, dengan itu, bacaan ammeter:

Jadi ammeter menunjukkan arus 0.317 A—itulah arus melalui keseluruhan litar siri.

Sekarang kita akan mencari rintangan kapasitif kapasitor, maka kita akan menentukan rintangan kompleksnya:

Kami kemudian mengira jumlah impedans kompleks litar ini:

Sekarang kita dapati voltan berkesan digunakan pada litar:

Voltmeter akan menunjukkan voltan berkesan 19.5 volt.

Akhirnya, kami mendapati kuasa yang akan dipaparkan oleh meter watt, dengan mengambil kira perbezaan fasa antara arus dan voltan

Meter watt akan menunjukkan 3.51 watt.

Kini anda memahami betapa pentingnya nombor kompleks dalam kejuruteraan elektrik. Ia digunakan untuk pengiraan mudah litar elektrik. Banyak peranti pengukur elektronik berfungsi pada asas yang sama.