Hukum Biot-Savart dan teorem peredaran vektor aruhan magnetik

Pada tahun 1820, saintis Perancis Jean-Baptiste Biot dan Félix Savard, semasa menjalankan eksperimen bersama untuk mengkaji medan magnet arus terus, dengan jelas menegaskan bahawa aruhan magnet arus terus yang mengalir melalui konduktor boleh dianggap sebagai hasil daripada tindakan am semua bahagian wayar ini dengan arus. Ini bermakna medan magnet mematuhi prinsip superposisi (prinsip superposisi medan).

Medan magnet yang dicipta oleh sekumpulan wayar DC mempunyai yang berikut aruhan magnetbahawa nilainya ditakrifkan sebagai jumlah vektor aruhan magnet yang dicipta oleh setiap konduktor secara berasingan. Iaitu, aruhan B konduktor arus terus boleh diwakili dengan adil oleh jumlah vektor bagi aruhan asas dB kepunyaan bahagian asas dl pengalir arus terus I yang dianggap.

Ia boleh dikatakan tidak realistik untuk mengasingkan bahagian asas konduktor arus terus, kerana D.C. sentiasa tertutup.Tetapi anda boleh mengukur jumlah aruhan magnet yang dicipta oleh wayar, iaitu, yang dihasilkan oleh semua bahagian asas wayar tertentu.

Oleh itu, undang-undang Biot-Sovar membenarkan anda untuk mencari nilai aruhan magnetik B bahagian (panjang diketahui dl) konduktor, dengan arus terus I yang diberikan, pada jarak r tertentu dari bahagian konduktor ini dan dalam arah cerapan tertentu dari bahagian yang dipilih (ditetapkan melalui sinus sudut antara arah arus dan arah dari bahagian konduktor ke titik yang diperiksa dalam ruang berhampiran konduktor):

Secara eksperimen telah ditetapkan bahawa arah vektor aruhan magnet mudah ditentukan oleh skru sebelah kanan atau peraturan gimbal: jika arah pergerakan translasi gimbal semasa putarannya bertepatan dengan arah arus terus I dalam wayar, maka arah putaran pemegang gimbal menentukan arah vektor aruhan magnet B yang dihasilkan oleh arus tertentu.

Medan magnet wayar pembawa arus lurus, serta ilustrasi penerapan hukum Bio-Savart padanya, ditunjukkan dalam rajah:

Jadi, jika kita mengintegrasikan, iaitu, menambah, sumbangan setiap bahagian kecil konduktor arus malar kepada jumlah medan magnet, kita mendapat formula untuk mencari aruhan magnet konduktor semasa pada jejari R tertentu daripadanya. .

Dengan cara yang sama, menggunakan undang-undang Bio-Savard, anda boleh mengira aruhan magnet daripada arus terus konfigurasi yang berbeza dan pada titik tertentu dalam ruang, contohnya, aruhan magnet di tengah litar bulat dengan arus ditemui oleh formula berikut:

Arah vektor aruhan magnet mudah didapati mengikut peraturan gimbal, cuma kini gimbal mesti diputar mengikut arah arus tertutup, dan pergerakan ke hadapan gimbal akan menunjukkan arah vektor aruhan magnet.

Selalunya pengiraan berkenaan dengan medan magnet boleh dipermudahkan jika kita mengambil kira simetri konfigurasi arus yang diberikan oleh medan penjanaan. Di sini anda boleh menggunakan teorem peredaran vektor aruhan magnet (seperti teorem Gauss dalam elektrostatik). Apakah "peredaran vektor aruhan magnetik"?

Marilah kita memilih dalam ruang gelung tertutup tertentu yang berbentuk arbitrari dan dengan syarat menunjukkan arah positif perjalanannya. Bagi setiap titik gelung ini, anda boleh mencari unjuran vektor aruhan magnet B pada tangen kepada gelung pada titik itu. Kemudian jumlah hasil darab kuantiti ini dengan panjang asas semua bahagian kontur ialah peredaran vektor aruhan magnet B sepanjang kontur ini:

Hampir semua arus yang mencipta medan magnet am di sini sama ada boleh menembusi litar yang sedang dipertimbangkan, atau sebahagian daripadanya boleh berada di luarnya. Mengikut teorem edaran: edaran vektor aruhan magnet B arus terus dalam gelung tertutup secara berangka sama dengan hasil darab pemalar magnet mu0 dengan jumlah semua arus terus yang menembusi gelung. Teorem ini telah dirumuskan oleh Andre Marie Ampere pada tahun 1826:

Pertimbangkan rajah di atas. Di sini, arus I1 dan I2 menembusi litar, tetapi ia diarahkan ke arah yang berbeza, yang bermaksud bahawa mereka mempunyai tanda yang berbeza secara bersyarat.Tanda positif akan mempunyai arus yang arah aruhan magnetnya (mengikut peraturan asas) bertepatan dengan arah pintasan litar yang dipilih. Untuk keadaan ini, teorem edaran mengambil bentuk:

Secara umum, teorem untuk edaran vektor aruhan magnet B mengikuti prinsip superposisi medan magnet dan hukum Biot-Savard.

Sebagai contoh, kami memperoleh formula untuk aruhan magnet konduktor arus terus. Marilah kita memilih kontur dalam bentuk bulatan, melalui pusat yang dilalui wayar ini, dan wayar itu berserenjang dengan satah kontur.

Oleh itu pusat bulatan terletak terus di tengah konduktor, iaitu, dalam konduktor. Oleh kerana gambar adalah simetri, vektor B diarahkan secara tangen ke bulatan, dan unjuran pada tangen adalah sama di mana-mana dan sama dengan panjang vektor B. Teorem edaran ditulis seperti berikut:

Oleh itu, formula untuk aruhan magnet konduktor lurus dengan arus terus berikut (formula ini telah diberikan di atas). Begitu juga, dengan menggunakan teorem edaran, seseorang boleh dengan mudah mencari aruhan magnet bagi konfigurasi DC simetri di mana gambar garis medan mudah digambarkan.

Salah satu contoh praktikal penting bagi aplikasi teorem edaran adalah untuk mencari medan magnet di dalam induktor toroidal.

Katakan terdapat gegelung toroid yang dililit bulat-ke-bulat pada bingkai kadbod berbentuk donat dengan bilangan lilitan N. Dalam konfigurasi ini, garis aruhan magnet disertakan di dalam donat dan berbentuk bulatan sepusat (antara satu sama lain). .

Jika anda melihat ke arah vektor aruhan magnet di sepanjang paksi dalaman donat, ternyata arus diarahkan ke mana-mana mengikut arah jam (mengikut peraturan gimbal). Pertimbangkan salah satu garis (ditunjukkan dalam warna merah) aruhan magnet di dalam gegelung dan pilihnya sebagai gelung bulat jejari r. Kemudian teorem edaran untuk litar tertentu ditulis seperti berikut:

Dan aruhan magnet medan di dalam gegelung akan sama dengan:

Untuk gegelung toroidal nipis, di mana medan magnet hampir seragam pada keseluruhan keratan rentasnya, adalah mungkin untuk menulis ungkapan untuk aruhan magnetik seolah-olah untuk solenoid yang tidak terhingga panjang, dengan mengambil kira bilangan lilitan per unit panjang — n :

Pertimbangkan sekarang solenoid yang tidak terhingga panjang di mana medan magnet berada di dalam sepenuhnya. Kami menggunakan teorem edaran pada kontur segi empat tepat yang dipilih.

Di sini vektor aruhan magnet akan memberikan unjuran bukan sifar hanya pada sisi 2 (panjangnya sama dengan L). Menggunakan parameter n — «bilangan lilitan per unit panjang», kita mendapat bentuk teorem edaran sedemikian, yang akhirnya berkurangan kepada bentuk yang sama seperti gegelung toroidal multitonCoy: