Undang-undang Algebra Litar Sentuhan, Algebra Boolean

Rekod analisis struktur dan keadaan operasi litar geganti memungkinkan untuk menjalankan transformasi setara analisis litar, iaitu, dengan mengubah formula struktur, mencari skema yang serupa dalam operasinya. Kaedah penukaran dibangunkan terutamanya sepenuhnya untuk formula struktur yang menyatakan litar sesentuh.

Untuk litar sesentuh, radas matematik algebra logik digunakan, lebih tepat lagi, salah satu jenis yang paling mudah, dipanggil kalkulus proposisi atau algebra Boolean (selepas ahli matematik abad lalu J. Boole).

Kalkulus proposisi pada asalnya dibangunkan untuk mengkaji pergantungan (kebenaran atau kepalsuan pertimbangan kompleks mengenai kebenaran atau kepalsuan proposisi mudah yang menyusunnya. Pada dasarnya, kalkulus proposisi ialah algebra dua nombor, iaitu, algebra dalam yang mana setiap hujah individu dan setiap fungsi boleh mempunyai satu daripada dua nilai.

Ini menentukan kemungkinan menggunakan algebra Boolean untuk mengubah litar kenalan, kerana setiap argumen (kenalan) yang termasuk dalam formula struktur boleh mengambil hanya dua nilai, iaitu, ia boleh ditutup atau terbuka, dan keseluruhan fungsi diwakili oleh struktur. formula boleh menyatakan sama ada gelung tertutup atau terbuka.

Algebra Boolean memperkenalkan:

1) objek yang, seperti dalam algebra biasa, mempunyai nama: pembolehubah bebas dan fungsi — walau bagaimanapun, tidak seperti algebra biasa, dalam algebra Boolean kedua-duanya boleh mengambil hanya dua nilai: 0 dan 1;

2) operasi logik asas:

• penambahan logik (atau disjungsi, logik ATAU, dilambangkan dengan tanda ?), yang ditakrifkan seperti berikut: hasil operasi ialah 0 jika dan hanya jika semua hujah operasi adalah sama dengan 0, jika tidak, hasilnya ialah 1;

• pendaraban logik (atau penggabungan, logik DAN, dilambangkan dengan ?, atau tidak dinyatakan sama sekali) yang ditakrifkan seperti berikut: hasil operasi ialah 1 jika dan hanya jika semua hujah operasi adalah sama dengan 1, jika tidak, hasilnya ialah 0;

• penolakan (atau sebaliknya, logik NOT, ditunjukkan oleh bar di atas hujah), yang ditakrifkan seperti berikut: hasil operasi mempunyai nilai yang bertentangan dengan hujah;

3) aksiom (undang-undang algebra Boolean), yang mentakrifkan peraturan untuk mengubah ungkapan logik.

Ambil perhatian bahawa setiap operasi logik boleh dilakukan pada kedua-dua pembolehubah dan pada fungsi, yang akan dipanggil fungsi Boolean di bawah... Ingat bahawa, dengan analogi dengan algebra biasa, dalam algebra Boolean, operasi pendaraban logik mempunyai keutamaan berbanding logik operasi tambah.

Ungkapan Boolean dibentuk dengan menggabungkan operasi logik pada beberapa objek (pembolehubah atau fungsi), dipanggil argumen operasi.

Transformasi ungkapan logik menggunakan undang-undang algebra Boolean biasanya dijalankan dengan tujuan meminimumkan, kerana lebih mudah ungkapan, lebih kecil kerumitan rantai logik, yang merupakan pelaksanaan teknikal ungkapan logik.

Undang-undang algebra Boolean dibentangkan sebagai satu set aksiom dan akibat. Ini boleh disemak dengan mudah dengan menggantikan nilai pembolehubah yang berbeza.

Analog teknikal bagi sebarang ungkapan logik untuk fungsi Boolean ialah gambar rajah logik... Dalam kes ini, pembolehubah yang bergantung kepada fungsi Boolean disambungkan kepada input luaran litar ini, nilai fungsi Boolean terbentuk pada output luaran litar, dan setiap operasi logik dalam logik satu ungkapan dilaksanakan oleh elemen logik.

Oleh itu, bagi setiap set isyarat input pada output litar logik, isyarat dihasilkan yang sepadan dengan nilai fungsi boolean set pembolehubah ini (selanjutnya, kita akan menggunakan konvensyen berikut: 0 — tahap isyarat rendah , 1 — tahap isyarat tinggi).

Apabila membina litar logik, kami akan menganggap bahawa pembolehubah dimasukkan ke input dalam kod parafasa (iaitu, nilai langsung dan songsang pembolehubah tersedia).

Jadual 1 menunjukkan sebutan grafik konvensional beberapa elemen logik mengikut GOST 2.743-91, serta rakan asing mereka.

Sebagai tambahan kepada elemen yang melaksanakan tiga operasi algebra Boolean (DAN, ATAU, BUKAN), dalam tab. 1 menunjukkan unsur-unsur yang melakukan operasi yang diperolehi daripada yang utama:

— DAN -NOT — penolakan pendaraban logik, juga dipanggil Schaefer move (ditandakan dengan |)

— ATAU -NOT — penolakan pelengkap logik, juga dipanggil anak panah Peirce (ditandakan dengan ?)

Dengan menyambung get logik secara bersiri bersama-sama, anda boleh melaksanakan sebarang fungsi Boolean.

Formula struktur yang menyatakan litar geganti secara umum, iaitu, mengandungi simbol helang bertindak balas, tidak boleh dianggap sebagai fungsi dua nilai yang menyatakan hanya litar tertutup atau terbuka. Oleh itu, apabila bekerja dengan fungsi sedemikian, beberapa kebergantungan baharu timbul yang melampaui had algebra Boolean.

Dalam algebra Boolean, terdapat empat pasang undang-undang asas: dua anjakan, dua kombinatorial, dua pengagihan dan dua penyongsangan undang-undang. Undang-undang ini menetapkan kesetaraan ungkapan yang berbeza, iaitu, mereka menganggap ungkapan yang boleh digantikan antara satu sama lain seperti penggantian identiti dalam algebra biasa. Sebagai simbol kesetaraan kita mengambil simbol yang sama dengan simbol kesamaan dalam algebra biasa (=).

Kesahan undang-undang algebra Boolean untuk litar sesentuh akan diwujudkan dengan mempertimbangkan litar yang sepadan dengan sisi kiri dan kanan ungkapan setara.

Undang-undang perjalanan

Untuk menambah: x + y = y + x

Skema yang sepadan dengan ungkapan ini ditunjukkan dalam Rajah. 1, a.

Litar kiri dan kanan biasanya adalah litar terbuka, setiap satunya ditutup apabila salah satu elemen (X atau Y) dicetuskan, iaitu, litar ini adalah setara. Untuk pendaraban: x ·y = y ·NS.

Skema yang sepadan dengan ungkapan ini ditunjukkan dalam Rajah. 1b, kesetaraan mereka juga jelas.

nasi. 1

Undang-undang Gabungan

Untuk tambahan: (x + y) + z = x + (y + z)

Untuk pendaraban: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Pasangan litar setara yang sepadan dengan ungkapan ini ditunjukkan dalam Rajah. 2, a, b

nasi. 2

Undang-undang Pengagihan

Pendaraban lawan penambahan: (x + y) +z = x + (y + z)

Penambahan vs Pendaraban. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Skema yang sepadan dengan ungkapan ini ditunjukkan dalam Rajah. 3, a, b.

nasi. 3.

Kesetaraan skim ini boleh disahkan dengan mudah dengan mempertimbangkan kombinasi penggerak sentuhan yang berbeza.

Hukum penyongsangan

Tambahan: NS + c = NS·c

Bar di atas sebelah kiri ungkapan ialah tanda penolakan atau penyongsangan. Tanda ini menunjukkan bahawa keseluruhan fungsi mempunyai makna yang bertentangan berkenaan dengan ungkapan di bawah tanda penafian. Tidak mustahil untuk melukis gambar rajah yang sepadan dengan keseluruhan fungsi songsang, tetapi seseorang boleh melukis gambar rajah yang sepadan dengan ungkapan di bawah tanda negatif. Oleh itu, formula boleh digambarkan dengan gambar rajah yang ditunjukkan dalam Rajah. 4, a.

nasi. 4.

Gambar rajah kiri sepadan dengan ungkapan x + y, dan yang kanan dengan NS ·c

Kedua-dua litar ini adalah bertentangan antara satu sama lain dalam operasi, iaitu: jika litar kiri dengan elemen tidak teruja X, Y adalah litar terbuka, maka litar kanan ditutup. Jika di litar kiri, apabila salah satu elemen dicetuskan, litar ditutup, dan di litar kanan, sebaliknya, ia terbuka.

Oleh kerana, mengikut takrifan tanda negatif, fungsi x + y ialah songsangan bagi fungsi x + y, maka jelaslah bahawa x + y = NS·in.

Mengenai pendaraban: NS · c = NS + c

Skim yang sepadan ditunjukkan dalam rajah. 4, b.

Translokatif dan gabungan dan undang-undang dan undang-undang taburan pendaraban berkenaan dengan penambahan (sepadan dengan undang-undang serupa algebra biasa).Oleh itu, dalam kes transformasi formula struktur dalam susunan penambahan dan pendaraban sebutan, penempatan istilah di luar kurungan dan pengembangan kurungan, anda boleh mengikut peraturan yang ditetapkan untuk bekerja dengan ungkapan algebra biasa. Hukum taburan penambahan berkenaan dengan pendaraban dan hukum penyongsangan adalah khusus untuk algebra Boolean.