Asas dan Undang-undang Algebra Logik

Ahli matematik Ireland pada pertengahan abad ke-19 George Bull membangunkan algebra logik ("Kajian undang-undang pemikiran"). Oleh itu algebra logik juga dipanggil algebra boolean.

Dengan memberikan penetapan huruf, menyatakan operasi transformasi logik dalam simbol tindakan, dan menggunakan peraturan dan aksiom yang ditetapkan untuk tindakan ini, algebra logik membenarkan proses penaakulan dalam menyelesaikan masalah yang diberikan dari segi logik pernyataan diterangkan sepenuhnya dalam algoritma. , iaitu, mempunyai program bertulis matematik yang menyelesaikan masalah ini.

Untuk menyatakan kebenaran atau kepalsuan pernyataan (iaitu, untuk memperkenalkan nilai untuk menilai pernyataan), algebra logik menggunakan sistem binari, mudah dalam kes ini. Jika pernyataan itu benar, ia mengambil nilai 1, jika ia palsu, ia mengambil nilai 0. Tidak seperti nombor binari, logik 1s dan 0s tidak menyatakan kuantiti, tetapi keadaan.

Jadi, dalam litar elektrik yang diterangkan menggunakan algebra Boolean, di mana 1 ialah kehadiran voltan dan 0 ialah ketiadaannya, bekalan voltan dari beberapa sumber ke satu nod litar (iaitu, ketibaan beberapa unit logiknya) adalah juga ditunjukkan sebagai unit logik yang tidak menunjukkan jumlah voltan pada nod, tetapi hanya kehadirannya.

Apabila menerangkan isyarat input dan output litar logik, pembolehubah digunakan yang mengambil nilai hanya logik 0 atau 1. Kebergantungan isyarat output pada input ditentukan operasi logik (fungsi)… Mari kita nyatakan pembolehubah input oleh X1 dan X2, dan output yang diperolehi oleh operasi logik padanya oleh y.

Fikir balik tiga operasi asas logik asas, dengan bantuan yang semakin kompleks boleh diterangkan.

1. OR operasi — penambahan logik:

Memandangkan semua kemungkinan nilai pembolehubah, seseorang boleh mentakrifkan operasi ATAU sebagai kecukupan sekurang-kurangnya satu unit dalam input untuk menghasilkan satu dalam output. Nama operasi dijelaskan oleh makna semantik kesatuan ATAU dalam frasa: «Jika ATAU adalah satu input ATAU yang kedua adalah satu, maka output adalah satu.»

2. Operasi DAN — pendaraban logik:

Daripada mempertimbangkan set penuh nilai pembolehubah, operasi AND ditakrifkan sebagai keperluan untuk memadankan semua yang pada input untuk mendapatkan satu pada output: "Jika AND ialah satu input dan yang kedua adalah satu, maka output adalah satu. «

3. Operasi NOT — penolakan logik atau penyongsangan. Ia ditunjukkan oleh bar di atas pembolehubah.

Apabila diterbalikkan, nilai pembolehubah diterbalikkan.

Undang-undang asas algebra logik:

1. Hukum Set Sifar: hasil darab sebarang bilangan pembolehubah hilang jika mana-mana pembolehubah adalah sifar, tanpa mengira nilai pembolehubah lain:

2. Undang-undang himpunan sejagat — jumlah sebarang bilangan pembolehubah menjadi satu jika sekurang-kurangnya satu pembolehubah mempunyai nilai satu, tanpa mengira pembolehubah lain:

3. Hukum Pengulangan — pembolehubah berulang dalam ungkapan boleh ditinggalkan (dengan kata lain, tiada eksponen dan pendaraban dengan pekali berangka dalam algebra Boolean):

4. Hukum penyongsangan berganda — penyongsangan yang dilakukan dua kali ialah operasi kosong:

5. Hukum saling melengkapi — hasil darab setiap pembolehubah dan songsangannya ialah sifar:

6. Jumlah setiap pembolehubah dan salingannya ialah satu:

7. Undang-undang Perlindungan — hasil melaksanakan operasi darab dan tambah tidak bergantung pada susunan pembolehubah mengikut:

8. Undang-undang Gabungan — semasa operasi pendaraban dan penambahan, pembolehubah boleh dikumpulkan dalam sebarang susunan:

9. Undang-undang Pengagihan — ia dibenarkan untuk meletakkan jumlah pekali di luar kurungan:

10. Undang-undang penyerapan — menunjukkan cara untuk memudahkan ungkapan yang melibatkan pembolehubah dalam semua faktor dan istilah:

11. Undang-undang De Morgan — penyongsangan hasil darab ialah jumlah penyongsangan pembolehubah:

penyongsangan hasil tambah ialah hasil darab penyongsangan pembolehubah: